![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Фракталы в рамках флешмоба
![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
rsokolov поинтересовался моей диссертацией, которая сиротливо пылится где-то Диссертация была посвящена мультифракталам.
Про фракталы, наверно, многие слышали, а если нет, то в Википедии все есть. Геометрические фракталы, которые придумали еще в 19 веке - это такие красивые кривые или фигуры, сколь угодно маленькие части которых подобны целому. Знаменитый пример "реальных" фракталов из книжки создателя термина Бенуа Мандельброта - береговая линия, которую можно рисовать на карте во все более крупном масштабе, вплоть до отдельных камешков на берегу и дальше.
Математика интересуется в первую очередь размерностью фракталов. Все знают, что отрезок одномерен, квадрат двумерен, куб трехмерен, но, оказывается, могут быть и фигуры любой дробной размерности. Размерность, очень грубо говоря, определяется так. Отрезок можно накрыть двумя отрезками половинной длины, очевидно. Квадрат можно накрыть четырьмя, то есть 22 квадратами со стороной половинной длины, и размерность его 2. Куб можно накрыть восемью, то есть 23 кубами со стороной половинной длины, и размерность его 3. Соответственно, если какую-нибудь фигуру можно накрыть N подобными ей, но радиусом в m раз меньше, то размерность этой фигуры log N/log m. Это очень ограниченное и мало где применимое определение, математики в большинстве случаев используют размерность Хаусдорфа, но в простых случаях все определения приводят к одному и тому же числу.
Это, так сказать, глобальная размерность. Мультифракталы, или, строго говоря, мультифрактальные меры (мера - это абстрактный аналог длины в одномерном пространстве, площади в двумерном и объема в трехмерном) - это такие звери, которые ведут себя очень по-разному в разных точках, и поэтому имеет смысл изучать их локальную размерность, то есть размерность в каждой точке. Размерность в точке определяется так. Возьмем шар с центром в данной точке и радиусом r, то есть совокупность точек, отстоящих от данной на расстояние менее r, и пусть m(r) - мера этого шара. Рассмотрим все меньшие и меньшие такие шары. Тогда локальная размерность - это предел, к которому стремится величина log m(r)/log r при r, стремящемся к нулю.
На этом определении основан мультифрактальный формализм, то есть попытка формально описать такие хитрые объекты. Я, в свою очередь, доказала, что он, увы, применим далеко не всегда. То есть что в некотором смысле почти все мультифракталы почти нигде не имеют локальной размерности. Еще я предложила другой, более обобщенный формализм, но это уже была чисто техническая и никому особо не нужная работа. А вот первую часть мне было приятно доказать, хотя я тоже не уверена, есть ли от этого какой-то прок.
В разные моменты жизни я попеременно жалею то о том, что так и не стала математиком, то о том, что вообще полезла в это дело. Все-таки несколько редких моментов ощущения реального творческого взлета в моей жизни связаны с математикой и поэзией. Что лучше - никогда не узнать, что существуют неизведанные ныне наслаждения, или узнать, и потом всю жизнь по ним скучать - вопрос, достаточно замусоленный в художественной литературе.
no subject
no subject
no subject
А вот что такое "почти все мультифракталы"?
Дело в том, что мультифрактальные модели довольно популярны в теории турбулентности - с помощью них вычисляют поправки к колмогоровским степеням. То есть, понятно, что "настоящих" фракталов в турбулентности нет, и модели эти описывают поведение жидкости только для некоторого промежуточого диапазона частот - но означает ли ваш результат, что применение таких моделей вообще не может быть обосновано?
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
То, чем Вы занимались, очень нужно. Если вообще нужно уточнять законы природы. :-)
no subject
Фракталы
(Anonymous) 2005-09-20 08:53 am (UTC)(link)Re: Фракталы