Фракталы в рамках флешмоба

[yucca]

rsokolov поинтересовался моей диссертацией, которая сиротливо пылится где-то на дальней полке в дальней директории древнего компьютера. С извинениями оному юзеру я, пожалуй, попробую описать это для гуманитариев.

Диссертация была посвящена мультифракталам.

Про фракталы, наверно, многие слышали, а если нет, то в Википедии все есть. Геометрические фракталы, которые придумали еще в 19 веке - это такие красивые кривые или фигуры, сколь угодно маленькие части которых подобны целому. Знаменитый пример "реальных" фракталов из книжки создателя термина Бенуа Мандельброта - береговая линия, которую можно рисовать на карте во все более крупном масштабе, вплоть до отдельных камешков на берегу и дальше.

Математика интересуется в первую очередь размерностью фракталов. Все знают, что отрезок одномерен, квадрат двумерен, куб трехмерен, но, оказывается, могут быть и фигуры любой дробной размерности. Размерность, очень грубо говоря, определяется так. Отрезок можно накрыть двумя отрезками половинной длины, очевидно. Квадрат можно накрыть четырьмя, то есть 2² квадратами со стороной половинной длины, и размерность его 2. Куб можно накрыть восемью, то есть 2³ кубами со стороной половинной длины, и размерность его 3. Соответственно, если какую-нибудь фигуру можно накрыть N подобными ей, но радиусом в m раз меньше, то размерность этой фигуры log N/log m. Это очень ограниченное и мало где применимое определение, математики в большинстве случаев используют размерность Хаусдорфа, но в простых случаях все определения приводят к одному и тому же числу.

Это, так сказать, глобальная размерность. Мультифракталы, или, строго говоря, мультифрактальные меры (мера - это абстрактный аналог длины в одномерном пространстве, площади в двумерном и объема в трехмерном) - это такие звери, которые ведут себя очень по-разному в разных точках, и поэтому имеет смысл изучать их локальную размерность, то есть размерность в каждой точке. Размерность в точке определяется так. Возьмем шар с центром в данной точке и радиусом r, то есть совокупность точек, отстоящих от данной на расстояние менее r, и пусть m(r) - мера этого шара. Рассмотрим все меньшие и меньшие такие шары. Тогда локальная размерность - это предел, к которому стремится величина log m(r)/log r при r, стремящемся к нулю.

На этом определении основан мультифрактальный формализм, то есть попытка формально описать такие хитрые объекты. Я, в свою очередь, доказала, что он, увы, применим далеко не всегда. То есть что в некотором смысле почти все мультифракталы почти нигде не имеют локальной размерности. Еще я предложила другой, более обобщенный формализм, но это уже была чисто техническая и никому особо не нужная работа. А вот первую часть мне было приятно доказать, хотя я тоже не уверена, есть ли от этого какой-то прок.


В разные моменты жизни я попеременно жалею то о том, что так и не стала математиком, то о том, что вообще полезла в это дело. Все-таки несколько редких моментов ощущения реального творческого взлета в моей жизни связаны с математикой и поэзией. Что лучше - никогда не узнать, что существуют неизведанные ныне наслаждения, или узнать, и потом всю жизнь по ним скучать - вопрос, достаточно замусоленный в художественной литературе.

Comments

[ex-bulatych796.livejournal.com]

А отрицательная размерность бывает?

[french-man.livejournal.com]

Нет, насколько мне известно.

[ex-bulatych796.livejournal.com]

Я нашёл публикацию (http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-bib_query?bibcode=2000NuPhB.565..445A&db_key=PHY&data_type=HTML&format=), авторы которой построили теоретическую модель на основе отрицательного количества измерений для исследований в ядерной физике, если я правильно понимаю.

[french-man.livejournal.com]

Как я понял, они просто экстраполируют какие-то формулы, в которые входит размерность как параметр. Если угодно, можно называть это "отрицательной размерностью".