yucca

В трех местах - у Вас, и Тифaрета и у Манкуняна - видел обсуждение этой (наверняка ошибочной) статьи. Нигде нет разбора ошибок по существу: вот на странице такой-то такое-то утверждение не верно потому-то.

Автор там делает некие заявления, вроде того, что 0.5(0) и 0.4(9) это одно и то же число, поэтому упорядочение действительных чисел по циферкам и диагональный аргумент якобы неверны. Было бы желательно, чтобы обсуждающие в ЖЖ и ФБ объяснили, почему автор не прав.

Ну, диагональный аргумент неконструктивен, как известно. Может быть с точки зрения конструктивистов не такая уж это и ересь? Хотелось бы прочитать комментарий по существу, понятный для нематематиков.

From:

я не совсем математик, но доказательство звучит странно. В доказательстве Кантора о счетности рациональных чисел, предложена точная схема нумерации. Дайте мне рациональное число, и я скажу вам на каком месте в списке оно окажется. В данной статье, можете ли вы сказать, на каком месте в списке будет корень из 2х ?

From:

sin-gular.livejournal.com

"Мы можем точно сказать, под каким номером в новом списке (полученном с помощью натуральных чисел) будет соответствующее число из таблицы рациональных чисел и наоборот. " "Получаем возможность сопоставить им [действительным] бесконечное число натуральных чисел." - Но точно сказать, под каким номером находится sqrt(2)/2 мы все же не можем ;)

From:

Я на самом деле внимательно статью не прочитал. Поэтому как по его алгоритму нумеровать корень из двух - не понял. Но "звучит странно" - не аргумент. Аргумент - ошибка на такой-то странице в таком-то рассуждении.

Я слышал, что были попытки (50-100 лет назад) излагать математику конструктивно, без актуальных бесконечностей. Я для себя предполагаю (не разобрав внимательно статью) одно из четырех:
1. Возможно, автор делает такую попытку "конструктивно" определить действительное число.
1а) Возможно он повторяет зады, то что великие вроде Рассела и Геделя давно обсудили (как тот учитель из Бердичева, что независимо открыл матанализ)
1б) Вдруг он придумал что-то новое, что великим в голову не пришло?
1в) Вдруг что-то старое, но под новым углом зрения (такое очень часто в науке)?
2. Возможно то, что он говорит - бессмыслица и неадекват. В рассуждениях логические ошибки и непонимание предмета.

From:

в статье много воды и забавных (хоть и не точных) примеров про баранов.
Если автор утверждает, что действительные числа можно пересчитать - пусть предложит механизм пересчета. Если он там есть, и вы его поняли - вернемся к моему вопросу - на каком месте будет корень из 2х.

У него вместо этого, немного туманное, обьяснение что действительные числа можно представить при помощи десятичной записи с бесконечными знаками после запятой. Это, пардон, не новость.

"Наезд" на доказательство Кантора - "этот баран не успел к перекличке" - на математическое доказательство не вполне тянет.

From:

мне кажется, Вы перепутали рациональные числа, и действительные.
Первые пересчитать можно, приведенная Вами цитата говорит об этом. Вторые (корень из 2х среди них) - нельзя.

From:

Если я правильно понял (внимательно все еще не прочитал), ключевую роль в его "доказательствe" играет случайная выборка чисeл. T.е. функция "получить случайное число". Такая функция, по его мнению, в качестве аргумента имеет натуральное число (порядковый номер вызова), а возвращает рано или поздно любое действительное число. Из чего это следует, я не вполне понял. Возможно, из равномерности распределения случайных чисел: рано или поздно вы подходите сколь угодно близко к любому иррациональному числу.

Bыглядит так, что если вы множество действительных чисел заменяете множеством рациональных и иррациональных чисел, которые можно получить как результат применения некоторого счетного количества функций к рациональным числам, то вы пытаетесь построить счетное множество, которое для практических вычислительных целей вам заменяет множество действительных чисел. То есть, наверно, он доказываетстя счетность не множества действительных чисел, а некоего множества, эквивалентного действительным числам для некоторых целей (вроде вычисления на ЭВМ). Корень из двух туда легко включить.

Можно ли таким образом построить матанализ с его идеей пределов, принадлежащих множеству действительных чисел, я не совсем понимаю. Наверняка это интенсивно обсуждалось сто лет назад. Есть ли в рассуждениях Королева научная новизна, также не совсем понятно, как непонятно, есть ли ошибки.

From:

Я, дофантазировав, понял примерно так:
1. Вы сначала нумеруете все стандартные (рациональные и алгебраические) функции и их комбинации, доступные ЭВМ. Функция Sqrt(x) получает некий номер.
2. Потом вы по одной оси откладываете все рациональные чиала, по другой оси - список функций.
3. Затем вы заполняете квадрат результатом применения функций по списку к рациональным числам. Там в одной из клеточек будет и результат применения Sqrt(x) к 1/2.
4. Клеточки вы нумеруете натуральными числами.

В принципе, на этом можно и остановиться. :)

5. Одна из ваших функций будет функция возвращающая случайные числа, Random(x). Машина же как-то ее выполнят, образуя из сочетания (последовательного пименения) стандартных функций. :)
6. Неким образом можно показать, что любая клеточка в вашей таблице совпадает рано или поздно со одним из элементов в строке Random(x). Это следует неким образом из равнмомерности распределения случайных чисел. таким образом, вы перенумеровываете ваши клеточки, уже при помощи Random(x). Но это, собственно, не важно, поскольку пункта четыре достаточно.

Таким рассуждением вы показали, что вычислительная машина может опериривать любыми практически важными (с точки зрения вычисления на машине) числами без применения актуальных бесконечностей и множеств мощностью континуума. Поскольку, человек это тоже, в определенном смысле вычислительная машина, как и совокупность всех людей, то выходит множествио всех чисел, о которых человек может помыслить - счетное. Не то чтобы это была новость, но немного другой взгляд на старый вопрос.

Новизны по сути нет, хотя некоторая новизна может содержаться в пункте шесть, если он верен.

From:

sin-gular.livejournal.com

Ну товарищ по ссылке-то говорит что можно - во второй привиденной цитате. Мне тоже кажется что нельзя.

А Вы выше это уже написали.

From:

Корни, в каком-то смысле, не очень хороший пример. Множество алгебраических чисел (корней) - счётно. Даже если число пи добавить, можно будет указать его место. Например, сделать первым, а остальные сдвинуть. Т.е. аргумент, "а где будет число x" как опровержение не работает.

From:

yucca.livejournal.com

Там перлы в каждом абзаце буквально, но вообще он просто не доказал, что его алгоритм реально пересчитывает действительные числа. Вместо этого прелестная фраза "при выборе любого числа всегда можно указать, в какой части списка его можно найти, если очень постараться". Это абсолютно голословное утверждение. Его алгоритм предлагает нам некое счетное подмножество действительных чисел, только и всего. В общем и целом статья производит впечатление "слышал звон, да не знает, где он". Раньше такие в основном развлекались доказательствами теоремы Ферма.

From:

a-grabenich.livejournal.com

Спасибо, нашелся добрый человек, а то я уж думал, что с ума сошел (я про корень из двух).

From:

пардон, логика должна работать не совсем так.
Вы СНАЧАЛА придумываете некий способ нумерации действительных чисел. Мы проверяем ваш способ так: я даю вам некое число (вы заранее не знаете какое), и Вы мне говорите какой номер (хотя бы примерно) у него будет в списке.
Приколы типа "О, число пи я как раз для вас записал в списке первым" - довольно примитивное жульничество :-)

From:

в Вашем рассуждении, вы откладываете по одной оси рациональные числа (счетное множество), а по другой - какие-то не вполне понятные мне "рациональные функции", множество который предполагается счетным (??). Понятно, что комбинация их - тоже счетна.

Однако, неясно, какое отношение это упражнение имеет к (не)счетности множества ДЕЙСТВИТЕЛьНЫХ чисел, да собвственно, и функций ????
Тут у вас неявное предположение, что ВСЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ числа - это результат применения неких "рациональных" функций к рациональным же числам. (иначе есть куча чисел, которые в Вашей таблице не появятся).

Понятно, что любое действительное число можно сколь угодно точне представить рациональным (а они - счетны). То есть, для практических целей - количество чисел - счетно. Я вам даже больше скажу - так как количество бит на число в компе ограничено, то количество чисел, вычисляемых на компе - не просто счетно, а даже конечно !

From:

"возвращает рано или поздно любое действительное число"
-ась ?? С какого перепуга?
Что верно, это то, что со временем, мы можем приблизиться сколь угодно близко к любому числу. Это да. О приближении действительных чисел рациональными (теми же десятичными дробями) мы уже говорили.

From:

да, в перерывах между прожэктами вечного двигателя.
А ведь кандидат наук, не х. собачий ...

From:

Не уверен, что этот тест работает. Подозреваю, что даже при большой настойчивости, число чисел, чей номер скептик может запросить, конечно. Даже бессмертный скептик может запросить номера лишь счётного числа чисел. Более того, теоретически, можно занумеровать все возможные описания чисел (запросы). Это, конечно, не конструктивное построение, но уж что есть. Дыру в рассуждениях уважаемого доцента надо, видимо, искать в другом месте.

From:

Вы полагаете, что ЗАРАНЕЕ знаете, что ЛЮБОЕ число, о котором я могу спросить принадлежит к некоторому счетному множествы ?? Это немного смешно, особенно, если учесть, что спрашиваю я о действительных числах, счетность которых Вы (т.е. доцент) и пытаетесь доказать.

Еше раз, мне не надо спрашивать у вас миллион чисел. Я спрошу одно, но Вы заранее не знаете какое.
И Ваш алгоритм должен будет сообщить, на каком месте в списке будет мое число. Идея "я а поставлю все числа, о которых он может спросить в начало" - не звучит серьезно..

From:

Да, полагаю. Число вопросов счётно. Можно выбрать язык вопросов, скажем, русский. Вопросы упорядочиваем лексикографически. В таком случае, например, "(На каком месте находится) корень квадратный из двух?" предшествует такому же вопросу про корень из единицы.
Конечно, будут дублирования. Пусть идёт как перевыполнение плана.

На всякий случай, я не считаю, что мощность множества действительных чисел счётна. Я считаю, что не обо всех действительных числах можно задать вопрос.

From:

почему же не обо всех? Вы можете привести мне пример действительного числа, о котором я не смогу спросить ?

From:

По причине счётности множества вопросов и несчётности множества действительных чисел. Если есть возражения по поводу счётности множества вопросов, с удовольствием изучу.

From:

avva.livejournal.com

Попытаюсь ответить сразу на несколько ваших комментариев в этой ветке:

1. Есть конкретная проблема с теоремой Кантора в том, что она является хорошо известной целью для "опровержений" дилетантов. Есть интересная статья логика Hodges'а на эту тему, в которой он размышляет, в частности, о том, почему именно эта теорема вызывает столь активную деятельность опровергателей:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/khomskii/ST2013/Hodges.pdf

Статья Королева, на которую дана ссылка, является ничем не выдающимся примером этого жанра, и специального опровержения не требует. Людей заинтересовал не сам факт "опровержения", полагаю, а место работы автора и место публикации.

2. Вы полагаете, что данное "опровержение" Кантора, возможно, содержит некое интересное разумное ядро, если попытаться понять аргумент автора, видя за ним другую концептуализацию действительных чисел - напр. конструктивную логику, или некую счетную-вычислимую часть действительных чисел итп. При достаточном желании можно спутанные мысли и непонимание автора "отбелить" таким образом, но шансов получить что-то интересное для математиков нет. Конструктивный анализ существует и исследован (хоть и малоинтересен большинству математиков); вычислимый анализ тоже существует в своей нише, см.
https://en.wikipedia.org/wiki/Computable_analysis

3. В этой статье серьезные проблемы начинаются с абзаца "Здесь можно выразить сомнения в правильности начального требования...", который показывает, что автор совершенно не понимает исходное док-во Кантора. В 19-м веке математики научились эксплицитно работать с бесконечными множествами как существующими объектами (actual infinity), а не рецептами бесконечно продолжаемого процесса (potential infinity); когда Кантор говорит "предположим, что множество действительных чисел счетно, т.е. есть бесконечный список всех действительных чисел", то имеется в виду, что для целей данного док-ва мы предполагаем данный список данным и фиксированным, неким законченным объектом, с которым теперь можно работать. Королев, и это типично для дилетантов, атакующих теорему Кантора, не то чтобы отвергает этот шаг, а просто не понимает его - для него бесконечный список это что-то, что пишут, пишут и никогда не закончат: "почему все решили, что формирование списка уже закончено и его уже прочитали до конца? Ведь это бесконечный процесс!"

Опять-таки, при желании можно увидеть в этом философскую глубину или как минимум небезынтересный вопрос, но это не будет никакая новая интересная математика, и даже конструктивизмом не будет.

4. Метод нумерации Королева на самом деле нумерует все действительные числа с конечным числом знаков после запятой - процедура перебирает именно такие числа (т.е. подмножество рациональных), а не все действительные числа, хотя в статье это скрыто запутанной риторикой типа "предполагаем, что все остальные цифры также известны и можем их проверить при желании".

Edited Date: 2016-08-26 12:47 am (UTC)

From:

yucca.livejournal.com

Тут мы встречаем известный парадокс :) Предположим, мы пересчитали все возможные вопросы. Возьмем из них все те, длина которых не больше, скажем, тысячи букв. Очевидно, их конечное число, и соответствующие действительные числа можно упорядочить по возрастанию. Теперь зададим вопрос "на каком месте находится число, которое на единицу больше самого большого числа, про которое можно задать вопрос не длиннее тысячи букв?". Очевидно, этот вопрос, с одной стороны, короче тысячи букв, а с другой, не входит в список вопросов.

From:

множество вопросов, разумеется, точно такое же несчетное, как и множество вещественных чисел - поскольку можно задать вопрос о любом вещественном числе. Попытка пронумеровать вопросы по алфавиту - то же самое, что пронумеровать вещественные числа, пользуюясь десятичной записью.

Повторюсь: если вы правы, то должны существовать такие вещественные числа, о которых я не могу спросить. Хотелось бы увидеть пример такого числа, или хотя бы способ его получить.

From:

По поводу первого предложения у меня есть сомнения. Насчёт предъявления числа - это к конструктивистам. Я вполне удовлетворяюсь "Если мощность множества А больше мощности множества Б, то в А есть элемент не принадлежащий Б".

From:

Я думаю, что с парадоксами можно справиться. Один вариант - нигде не сказано, что вопрос ставится в соответствие числу, соответствующему смыслу вопроса. Второй вариант - "на каком месте находится число, которое на единицу больше самого большого числа, про которое можно задать вопрос не длиннее тысячи букв?" не входит во множество вопросов, которые описывают действительные числа.

From:

в этом рассуждении всего лишь не ясно, на каком основании мощность множества вопросов - счетная.
Предложенный алгоритм счета (по алфавиту..) - ничем не отличается от подсчета чисел в десятичной записи.

From:

На основании конечной длины каждого вопроса - т.е. аналогично рациональным числам.

From:

она не более конечна, чем десятичная запись любого числа

From:

Предлагаю agree to disagree.

From: